conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS Y SUS APLICACIONES

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos. Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas, y son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
Más aún, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática. La propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos.
En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, los razonamientos y técnicas de la teoría de conjuntos se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas "puras" en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

Conceptos básicos de la teoría de conjuntos.

El concepto de conjunto es uno de los pilares fundamentales de la Estadística y la Probabilidad, y en general de toda la Matemática. El conjunto de valores que puede tomar la variable de estudio en toda investigación estadística, así como el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento de azar que se está estudiando, son una sencilla muestra de la utilidad y necesidad de comprender la teoría de conjuntos.

Se llama conjunto a una colección o agrupación de objetos que tienen en común alguna propiedad. Tales objetos se denominan elementos o miembros del conjunto. En lo general, se representa a los conjuntos con letra mayúsculas, tales como A, B, C, D, entre otras, y a sus elementos con letras minúsculas, por ejemplo a, b, c, d, por citar algunas.

Cuando un elemento “a” pertenece a un conjunto K, se puede escribir como: a Î K, y si no pertenece se escribe como: a Ï K. Cuando la relación de pertenencia se establece para varios elementos, por ejemplo: si a, b y c pertenecen a K, se puede escribir a, b y c Î K. 

Se debe tener cuidado para definir un conjunto y diferenciar los elementos que lo componen, por otra parte, si el conjunto ya está establecido, se debe ser competente en distinguir si los elementos cumplen con su definición. Para ello, se pueden definir los conjuntos haciendo una lista de todos sus elementos, separándolos por comas y encerrándolos entre llaves, esta forma de hacerlo se llama método por extensión; pero si esto no es posible, entonces se debe describir aquella propiedad que satisfacen todos los elementos que le pertenece, esta manera de hacerlo se denomina método por comprensión. A continuación se verán algunos ejemplos:

a) El conjunto de los número dígitos puede definirse por el método de extensión de la siguiente forma:

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

b) Si se lanzan dos dados y se resta al mayor de los números el menor, el conjunto total de resultados, se puede

expresar por extensión de la siguiente manera:

{0, 1, 2, 3, 4, 5}.

c) Si se desea expresar el conjunto de los números primos, se tiene una cantidad infinita de elementos, razón

por la cual es imposible expresar este conjunto por el método de extensión, por tal motivo, se recurre al

método de comprensión,expresando este conjunto como:

{ x / x es un número primo }

El cual se lee: el conjunto de los elementos “x” tales que “x” es un número primo. La línea “ / “ se lee tal que o dado que.

Cualquier conjunto que pueda expresarse por el método de extensión, también se podrá enunciar por el método de comprensión. Otra manera común de escribir los conjuntos por comprensión es enumerando solamente algunos de sus elementos y utilizando puntos suspensivos ( . . . ) para indicar que el mismo patrón se repite; por ejemplo:

a) Sea Q el conjunto de los números pares, se puede expresar así: Q = { 2, 4, 6, 8, . . .}.

Conjuntos especiales:

• Conjunto Universal: En cada problema existe, ya sea de forma establecida o implícita un universo. Tal

conjunto contiene a todos los elementos, de éstos se puede hacer una selección para formar otros conjuntos.

El conjunto Universal se simboliza con la letra U, y muestra de ello son los siguientes ejemplos:

a) El número de sellos al lanzar 3 monedas.

U = {0, 1,2, 3}

b) Los números de Fibonaci.

U = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,. . .}

c) Los tipos de distribuciones de frecuencias.

U ={absolutas, relativas, acumuladas, relativas acumuladas }.

• Conjunto vacío: Es todo conjunto que no tiene elementos. Se representa con el símbolo Ø o con { }.

Ejemplos:

a) El conjunto formado por todos aquellos números que son pares y primos a la vez, y mayores a 3.

{ }

b) Conjunto formado por todas aquellas series de datos en los cuales la varianza es negativa.

Ø

c) El conjunto de todos los números reales “x” tales que x2 = −1.

Ø

• Conjuntos equivalentes: Dos conjuntos A y B cualesquiera son equivalentes o iguales si contienen los mismos elementos. Se simboliza A = B. Ejemplos:
a) A = { x/x es número impar menor a 10 } y B ={1, 3, 5, 7,9 }, por lo tanto A=B.
b) P = { x/x es una curva que suaviza polígonos en los cuales la media, la moda y la mediana coinciden} y
Q= { Curva normal}, por lo tanto P=Q.
c) T ={ x/x es una medida estadística de tendencia central que puede calcularse para cualquier tipo de
variable} y M = { Moda }, en consecuencia, T=M.


• Conjuntos disjuntos o ajenos: Son aquellos conjuntos que no comparten elementos. Ejemplos:
a) Sea el conjunto A = {x/x es número impar} y el conjunto B ={ x/x es número par }
b) Considere el conjunto C = {x/x es una medida de tendencia central} y el conjunto D ={ x/x es una
medida de dispersión }
c) Q ={ x/x es una sustancia alcalina } y R ={ x/x es una sustancia ácida }

• Subconjuntos: Si cada elemento de un conjunto A también pertenece a un conjunto B, se le llama a A un
subconjunto de B y se simboliza como A Ì B y se lee “A está contenido en B”. Ejemplos:
a) A = { media, moda, mediana } y B ={ x/x es una medida estadística descriptiva }, por lo tanto, B Ì A.
b) A ={ x/x es un Estado fronterizo de México} y B = { x/x es una Entidad federativa de México }, así que, A Ì B.
c) A ={ x/x es una número irracional } y B ={ x/x es un número real }, en consecuencia, A Ì B.

Operaciones entre conjuntos y su representación gráfica.

Entre dos o más conjuntos se pueden efectuar operaciones cuyos resultados se convierten en nuevos conjuntos,entre las operaciones más importantes se tienen las siguientes:


La Unión: Al conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, o tanto a A como a B, se le llama la unión de A y B, éste se simboliza como A È B.

La Intersección: El conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente al conjunto A y al conjunto B, se llama intersección de A y B y se representa como A Ç B. En particular, los conjuntos ajenos o disjuntos se caracterizan por A Ç B =Ø.





La diferencia: El conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B, se llama la diferencia de A yB, se escribe por A – B.

El complemento: El conjunto formado por todos los elementos del conjunto Universo que no pertenecen a un subconjunto dado, por ejemplo, se le llama complemento de A a todos los elementos que están en el conjunto universo y que no están en A, además con Ac o A´.

Diagramas de Venn-Euler: (En honor al matemático Suizo Leonardo Euler y al Matemático Inglés John Venn) El universo U puede representarse geométricamente por el conjunto de puntos dentro de un rectángulo. Los subconjuntos de U se representan por conjuntos de puntos dentro del rectángulo y contenidos en círculos u óvalos. La forma en que estos círculos se sobreponen entre sí, muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes.
En síntesis los diagramas de Venn-Eulerse utilizan para representar gráficamente las distintas operaciones entre conjuntos.